Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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20. Kapitel.

y'i-202 _ ap2./1~202 - (3y == (y.a13 + 120* J/'1201 ~a 2,
wodureli a y bestiinmt ist.
Zu den als bekamnt vorausgesetzten Selinen zurtiekkehrend erhl'it
demnacli Ptolem,-,Ius aus den Sehinen von 720 und von 600 die von
720 600 oder von 12' Wiederholte ilalbirung des Bogeus lelhrt also ~ 1 0 3 0
dauan die Seline von 60 von 301 von 1- ~- von - kennen. Ptolem~ius
beabsichtigt aber die Sehnein der urn je I~ Grad steigenden B~5gein
in eine Tabelle zn vereinigen, er bedarf also dazu in erster Linie
der Kennatniss der Sehiie von 10, und dazu verhulft ilim emn Vergleichungssatz von hdehster Eleganz. Es seien
A ~~~~(Figur 7 1) zwei B6gen af3 3y desselheii
y Kreises gegeben, deren letzterer grosser als
~~~ ~der erstere, und es seien die Sehuen der
einzelnen B6gen sowie der Summe der beiden
\ ~~~gezogen, wobei wir zur Unferscheidung der
/ Bi~gen und Sehnen jene z. B. als, arcus a(3,
diese als chorda ao( oder als ap( schieclitweg
bezeichnen wollena. Der Winkel bei f3 werde
Fig. 7 1. dureli die (36 halbirtP 6 a und r y werden gezogen, auch 6~ seiikrecht zu ay, und mit 6s d. li. mit der Entfernung des Pulnktes 6 vom Durchschnitte der (36 mit der ay als ialibmesser mid mit 6 als Mittelpunkt wird emn Kreisbogen beschriebeii,
der einestheils die 6 a ainderntheils die 6 ~, selbst oder in ilirer Verlangerung, in ij und 0 selineidet. Nach dem bekannten Satze von
der Halbirung einer Dreiecksw'inkels ist a (3 (32' a s: sy, aber
af3 < Oy, also auch as < sy d. h. asc ist weniger als die llidlfte von
ay, E MRll zwischen ax und ~ und es ist demzufolge da > dc > 6~,
woraus weiter folgt, dass q, auf 6a selbst, 0 auf der Verilingerung
von 6 ~ liegen muss. Daun ist aber der Kreissektor S2 kleiner als
das Dreieck 6 sEa, und der Kreissektor 60s gro5sser als das Dreieck
6,c~. Aus diesen YVergleichungen folgen die beiden anderen:
Dreieck &t.~ Sektor 6,, Di eieck 6 L Dreieck 6,,
Sektor<- Seto c und — ~ —>
r 8 " n SektorSektor 6j Dreieck 6,ia'
aus deren Verbindnujg liervorgeht, dass
Dreieck 6~ E Sektor 6 E 0
D1r~eic~k~u <- f Sektor 6e,,
Dreieck 6, g __ Soktor 6 E 0 arcus 6 0
Aber - - und - Die gewonnene
Setr~ arcus, O
Ungleichung heisst also audih~ <aus0 Wird beiderseits die
E x arcus tn
Einheit hinzugefiigt und alsdann verdoppelt, so entsteht