Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Eratosthenes. Apollonius von Perg"'rt.32

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In dem III. Buche bilden die ersten 44 Satze einen besonderen
Abschnitt, dessen Charakcter schon in dem. 1. Satze sich dahin ausweist, dass hier Verhaitnisse von Produkten aus. Tangenten
und Sekanteha der Kegelselinitte auftreten. Jener erste Satz
heisst etwa folgendermassen: Es seien M, und M2 zwei Punkte eines
Kegelschnittes, dessen Mittelpunkt in 0 liegt (bei der Parabel wiire
() unendlich entfernt, und somit die OM, mit 0M2 und mit der
Axe der Parabel parallel); die Beriihrungslinien in beiden Punkten
seien M, T, und 1112T[2, indem, T, den Durchschnitt der Berlllrungslinie an Ml mit der 0 M2 bezeichnet, tund eine Thnliche Definition
ft!r T2 gilt; die MI T, und die M2T2 schneiden einander in B. Alsdann sind die Dreiecke 111 jI7R und M2T1- fl~thchengleich. Die folgenden Saltze stiitzen sich auf diesen ersten, und lassen sich, in so
vielfailtiger Theilung sie audi im Originale ausgesprocien sind, in
zwei llauptsiitze zusammenfassen. Der eine Satz, dass, wenti von
einem. Punkte zwei Sekanten gezogen werden, das Produkt der Entfernungen des Ausgangspunkites naci den beiden Schnittpunkten der
einen Sekante dividirt durch dasselbe Produkt in Bezug auf die
zweite Sekante einen Quotienten gibt, der sici nicit verandert, wenn
man von irgend einem anderen Ausgangspunkte ein den ersten
Sekanten paralleles Sekantenpaar construirt. Der zweite Satz, dass
eine Sekante, aus deren einem Punkte man zwei Beriiirungslinien
zielit, durch diesen Ausgangspnnkt, den Durchscinitt mit der Beriiirungssehne und die beiden Durchscinittspunkte mit dem, Kegelsehnitte eine harmoniscie Theilung darbietet'). Noci ei-nige auf
Flachen bezflgliche Walirheiten sciliessen sich ziemlich naturgemalss
an, wie z. B. dass die Dreiecke, weiche durci die Asymnptoten und
irgend eine Berflirungslinaie der Hy-perbel gebildet werden, einen
constanten Fla~cieninhalt haben, da derselbe Satz, anders ausgesprochen,
dahin gehen wiirde, dass jede Beriflirungslinie der Hyperbel auf den
Asymptoten. Stiteke von constantem. Produkte abscineide. Alsdann
kommt der Verfasser in dem 45. Satze zu den Punkten, welehe er
(Yng~ra IM q naqao)j~g nennt, eine Bezeichnung, weiche sciwierig
zu verdeutschen ist, da. Punkte, die bei der Anlegung enatstehen, kaum den Anspruch erheben kionnien, nur einigermassen
einen Begriff davon zu gewahren, welcie Punkte gemeint sind; es
sind aber die Brennpunkite, der Ellipse u-nd ilyperbel, wahrend der
Brennpunkt der Parabel in dieser Zeitperiode noci nicit vorkommt.
Die Definition der Brennpunkte bei Apollonius und die Eigensciaften,
') Apollonius be-nutzt dabei allerdings noch nicht das Wort: harmonisehe
Theilung, eondern schreibt den Satz als Proportion.
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