Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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14. Kapitel.

Beriihrungslinie als Grundlinie besitzt. Bildet man nun das Dreieck,
welehes die Sehne zur Grundlinie, den genannten ll~hepunkt als
Spitze besitzt, und weiches foiglich von dem ersten Parabelabselinitte
urn zwei neue klienere Abschriitte sich unterseheidet, so m-uss das
selbe als Hllifte des Rechteckes und als eingeschrieben in den Parabelabschnitt griosser sein als die ilaIfte des Abschriittes, kleiner als sein
Gauzes. Man kann aber audi die umgekehrte Folgerung ziehen und
die FRiche des Abschnittes grosser als das betreffende Dreieck,
kleiner als das Doppelte desselben nennen. In jeden der beiden
neuen kleineren Abselinitte wird nach iihnlicher Regel wieder emn
Dreieck beselirieben,7 deren jedes melir als die H'afte des ihn entlialtenden Absclrnittes einnimmnt und genau den acliten Theil des ersten
Dreiecks als FIlicheninhalt besitzt. Es ist das emn Verfahiren, bei
welehem dasjenige als Muster gedient haben mag, dessen Euklid sich
bediente (S. 258), urn zu beweisen, dass Kreisfliachen sich wie die
Qunadrate ihrer Durechmesser verhalten. Der Parabelabschnitt wird
dadurch in zweiter Ann'aheru-ng grosser als 1-i- kleiner als des
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ersten Dreiecks, weiches ihim eingezeiehnet worden war. Nun werden
in die nenen immer kleineren Parabelabschnitte wieder neue Dreiecke
besechrieben und dem eben Behaupteten alinliche Folgerungen gezogen. Nach heutiger Schreibweise kommt die Reihenfolge der so
zu gewinnenden Satze auf die Summirung der unendlichen Reihe
1 + - + +)2~(~)+.. hinaus, deren Anfangsglied 1 den Flacheninhalt, des ersten Dreiecks, deren Summe den FhIcheninhalt des
ganzen Parabelabschnittes darstelit. Archimed, freilich das Unendliche nur mittelbar in seine Betraditungen einbegreifend, begniigt
sich mit der Summirung der endlichen geometrischena Reihe, deren
letztes Glied wir nennaen. wollen. Deren Summe sei, sagt er,
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nur urnmdeu dritten Theil des niedersten Gliedes kleiner als -2- d. hi.
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also -3 3 ~ -. Daran schliesst sich der apagogische Theil
des Beweises, weichen wir wiederholt als Ersatz fuir Unendliclikeitsbetraclitungen haben eintreten sehen. Aus der M'O'glichkeit den
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Unterschied zwischen dem Parabelabselinitte u-nd -- des erstekigezeichueten Dreiecks kleiner als irgend eine, angegebene Gri~sse
werden zu lassen, folgt die doppelte Unmo~glichkeit, dass der eine
oder der andere Fliichenraum der griossere sei.
Was die beideren anderen Kegelschnitte, die Hyperbel und die
Ellipse betrifft, so scheint Archimed der ersteren besondere Aufmerk

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