Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Archimedes und dessen geometrisehe Leisturigen.28

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das Verhailtniss des Kreisumfanges zum Durelimesser ging Arehuined
dagegen von einem ganz anderen Versuche aus, weicher die grbssere
Glrenze ilim versehaffen sollte. Er benutzte dasjenige gleichseitige
Dreieck, weiches seine Spitze im Kreismittelpunkte besitzt, walirend
die dritte dieser Spitze gegenflberliegende Seite Berifihrungslinie an
den Kreis ist. Heisst die Seite dieses Dreiecks a, der Kreishalbmesser r, so ist leiclit ersiclitlich a= und r: =2 /31
Archimed behauptet oline weitere Begrtindung, es sei r:2 a> 265: 153
(265\2 70 225 2 T/->265
findwirkich st-3 - j-9 also V3 Ferner
undwirlih it 153/ 23 409 23409 1
a
lich (r + a): 2s-> 571: 153. Nun kommt eine kleine geometrische
Betraclitung. Weun (Figur 53) die A A den Winkel B A F halbirt,
so ist A B:AI'?=BA:Al?, (A4B + Al?): Al?
a
=(BA +Al?):Alroder (a +r):r=1-2-:Al?.
Aus dieser Proportion folgt weiter r: A F = EB
(r +J-a) j- > 571: 153. Dieses Ergebniss zu A
nacliheriger Benutzung anfsparend folgert Archimed weiter r2: Al?2> 5712: 1532 und (r2 +, Al2) Fig 53.
Alr2 > (57 12 + 153 2):1532 oder 4A2: Al?2 >
349 450: 1532 und AA4: Ar?> 591 —: 153. Auch diese Zahien. sind
riclitig gew~hlt, denn (591~-) =349 428~ -K 349 450. Der Winkel
JAPI wird dureli die A E halbirt. Dadurch gewiunn man neue
Proportionen AA: Ar?=- AE: El?, dann (AA + Al?): Al? ==
(AE +El?): Erund. (AA4+ Al?):(A E +El?)=Al?: El?, d. h.
(r + AJ A: A F- == r: El?. Nun erinnern wir uns an
r: Al?> 571:153
nebst
AA4:A?> 591-: 153.
Die Vereinigung beider Yerhaltnisse gibt (r + 4/A):Al?> 11621: 153
oder audh r: El?>1162!: 153.
JNe gewonnenen Ergebuisse stellen wir tibersielitlicher zusammen:
r: Br> 265:- 153
r: Alr> 571: 153
r: El?>1162!1 153