Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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14. Kapitel.
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eine Seite des Vielecks gefdllit war, und die selbst kliejer als
U.h
der Kreishalbmesser r sein muss. Mit, anderen Worten J7 = 2
D -. rund wegen V >D auch U -h > P r, wthrend jeder
2
Faktor des gr~5sseren Produktes kieiner ist, als emn ihm entsprechender Faktor des kleineren Pr6duktes, und darin liegt emn Widerspruch.
Zu einem ferneren Widerspruch fiihrt auch die Aimalime K K<D.
Ausgehend von dem dem Kreise umschriebenen Quadrate wird durch
fortgesetzte Verdoppelung der Seitenzahl eim umschriebenes Vieleck
gefunden werden k~nuen, dessen Inhalt V' der Ungleichung K < V' < D
geniigen muss, wthrend sein Umufang U'> P ist, und die Senkrechte
h'vom Kreismittelpunkte auf die Seiten dieses Vielecks notliwendig
U'. h' P. r
= r sein muss. Trotzdem miisste hier 2 < 2~ sein oder
U' < P und doch auch U' > P. Es bleibt also nur die Annahme
K== D 2 brg. Freilich hat man die an die Spitze gestelite
Voraussetzung, es gebe eine Gerade von der Ludnge P, weiche als
Seite eines reclitwinkligen Dreicks auftreten kdnne, bemiingelt. Wir
erinnern daran, dass Dinostratus die gleiche Anualime scion sich
gestattet hatte (S. 233). Audi Eutokius nimmt Archimed gegen
den angefillirten Vorwurt:, weicher urn damals, scion gemacht worden
war,7 in Schutz. Er habe nichts Unaziemliches ausgesprochen. Die
Kreislinie sei eine Grdsse von bestimmter Abmessung, der irgend
eine Gerade gleich sein miisse und es sei keineswegs unstattliaft, das
Vorhandensein jener Geradena in einem Satze vorweg zu beuautzen,
noch bevor man sie finden gelelirt habe. Allerdings ist nun diese
Auffindung das nucliste Problem und ihm gelit jetzt Archimed
rechnend zu Leibe, nach einer Methode also, welehe Euklid, wie wir
(S. 256) besprochen haben, sich walirscheinlich untersagt, butte, nicht
geometrisci, sondern geodutisci. Archimed, sucht zwei Grenzen,
zwischen welcie er das VerhUjitniss der Kreisperipherie P zum Durcimesser d einschliessen will und findet,
P:d< 3 1und P: d> 3'L A.
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Wir bemerken, dass Archimed bei seinem friiheren Beweise
K 2 — r von den Quadraten ausgiug, welche dem Kreise emn- und
umgeschrieben werden k5nnein, wie, es (S. 257) Euklid im 12. Buche
der Elemente gethaan hat um die Proportionalitiit von Kreisinhalt und
Durchmesserquadrat festzustellen, wie es (S. 190) scion viel frllher
Antiphon gethan hatte. Bei der Aufsuchunag der Zahlengrenzen ftlr