Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Archimedes und dessen geometrische Leistungen.28

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Bogens BZ. Man zielie EH parallel zu AB und die Haibmesser
AB nnd zlH. Der Parallelismus von AB mid EH bringt -)Z F!- E
hervor; Gleiclischenkligkeit von Dreiecken zeigt, dass <)c Fr B ziF
und <)- E = —H. Ferner r.FJH! —2 E=-2F=~2 BA4und BC BII
=3BAFralso are. BH1 A E = 3 BZ.
Die beiden letzterwdhnten Satze liaben, wie uns scheint, eine
besondere Tragweite dureli die Ziele, auf weiche Archimed mit ihirer
Hilfe hinsteuerte. Bei dem 8. Satze, glauben wir, dachte er an die
zu voliziehende Dreitheilung des Bogens AE. Sie war verm'oge
seines Satzes gelungen, sobald man eine Sehine AB versuchsweise
fand, deren Verlangerung bis zur Yerbinadungsgeraden von E mit
dem Kreismittelpunkte A die Lange des Kreishalbmessers besass.
Die vorerwalinte Quadratur des Salinon im 14. Satze wird wohi
nicht minder riclitig dahin aufzufassen sein, dass Archimed im Anschiusse an die Arbeiten des Hippokrates von Chios geometrisech
versuclite, den Flacheninlialt des Kreises mit dem anderer Figuren
in Gleicliheit zu setzen. Nur war vielleiclit die Absiclit beider die
entgegengesetzte. llippokrates wollte zuverlalssig aus den dem Kreise
gleichen Figuren die Flache des Kreises ermitteln. Arehimed beabsichtigte m~glicherweise anderweitige krummlinig begrenzte Figuren
auf den als bekannt vorausgesetzten Kreis zurfickznffihrena.
Bekannt war ihim nalmlich allerdings der Kreis dureli seine
K r-eis mess un g. Diese merkwtirdige Abbanadlung ist nach ilirem,
geometrischen Gehalte wie mit ilinsiclit auf die Geschichte des
Zalilenrechnens der hi~chsten Beaclitung wertli. Wir haben es ffurs
erste nur mit dem Geometrischen zu thu-n. Archimed gelit davon
aus, dass er beweist, der Kreis sei einem, reclitwinkligen Dreiecke
glici h, dessen eine Kathete die Lange des llalbmessers, die andere
die des Kreisumfangs besitzt. Ware dieses Dreieck kleiner als der
Kreis, so mfisste irgend emn angebbarer Unterschied vorhanden sein,2
und es w'are m~5glich duroli Einzeiehnung eines Quadrates in den
Kreis und fortgesetzte Halbirung der Bogen emn Vieleck zu erlaingen,
welches den Kreis bis auf gewisse kleine Abschnitte erfifllte, deren
Summe endlich kleiner als jener Ueberschuss des Kreises fiber das
Dreieck ware. Nennt man etwa K, F, D die Inhalte des Kreises,
des \Tielecks, des Dreicks, so w'are mithin K > V > D, zugleich
aber U < P sofern U den Umfang des Vielecks, P die Kreisperipherie
bedeutet, und zwar begrfindet sich diese letztere Ungleichung aus
jener Annalime fiber die Gerade als kfirzeste Entfernn-ng zweier
Punkte, von der oben die Rede war. Nun ist V gleich einem reclitwinkligen Dreiecke, welches als griissere Kathete U, als kleinere
die Senkrechte h besitzt, die vom Kreismittelpunkte aus auf irge-nd