Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Die iibrigen Schriften des Euklid.26

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wird auch der letzte Punkt eine Gerade ziim geometrisehen Orte
haben, weiche aus den vorhandenen Angaben bestimmnt werden kaun.
Man sieht augenblicklich, erstens dass es sich hier urn einen geometrischen Ort handelt, zweitens dass in der Hypothese die Lage,
der von zwei Punkten beseliriebenen Geraden nicht niiher bezeichiiet
ist, dass also an der ilypothese etwas fehit, dnittens dass demgemRnss
auch die Folgerung an Bestimnintheit zu wiluschen tirig lilsst, dass
aber viertens die Folgerungo zu vollst~indiger Bestimmntheit ergiinizt
werden kann, indem man die Lage den dnitten Geraden zu den gegebenen Raumgebilden in Beziehung setzt, sie als eine darzustellende
Function denselben betrachtet. Mit andenen Worten: die Ortsveriinderung eines Punktes ist in Abhiingigkeit gebraclit zu. den Ontsverandenrungen zweier Punkte, so dass sie der Art nach bestimmt
ist, der Lage nach aber erst bestimmit wird, wenn jene Ortsvenrinderungen der beiden anderen Punkte, so wie drei feste Punkte wirklich
gegeben sind.
Dieses vollstaindiger als die tibrigen enhaltene Porisma wurde,
wie wir gleiclifalls dunch Pappus wissen, in zelin einzelneni Falen
behandelt, je nach der Versehiedenheit der Lage der einzel-nen Punkte
und Geraden. Man erkennt an diesem einen Beispiele, weiche gewaltige Ausdehnung eine SammIung von Porisnmen gewinnen konnte,
wenn die theils als Bedingungen, theils als Ergebnisse in jedem Porisma vonkommenden geornetrischen Oerter jeder beliebigen Gattung
von Raumigebilden angelibren durften. Euklid legte sich die freiwillige Beschriinkung auf, nur soiche Oerter zu benutzen, deren
Lehre aus semnen Elementen zur GenUge bekaunt war. In den beiden
ersten Bllchern seiner Porismen treten nur Genade auf; in dem dritten
Buche ausser soichen auch Kreise. Trotz dieser engen Beschriinkung
waren 171 Satze in dem Werke enthalten, weiche Pappus je nach
den Ergebnissen, also abseits der Bedingrungen, in 29 Gattu-ngen abgetheilt hat. Eine Gattung war es z. B., wenin sich herausstellte,
dass emn Punkt auf einer der Lage nach bekannten Geraden liegen
mllsse; eine zweite, wenn man erfuhr, dass eine gewisse Gerade in
alien ihren Lagen durch einen bestimmten Punkt gehen miisse; eine
dritte, weinn wieder eine bewegliche Gerade auf zwei gegebenen
Geraden Abschnitte von bestiminten Produkten bildete, wiihrend man
bei den Aufstellung jener Gattungen als soicher zun'aichst davon
absah, welcherlei Bedingungen in jener ersten Gattung die Bewegung
des Punktes, in den beiden anderen die Bewegung den Geradeii regein.
Von dieser Auffassung ist wenigstens die von uns schon gerllhmte
Wiederherstellung den euklidischen Porismen ausgegangen, auf weiche
fUr die genauere Kenntniss des Gegenstandes verwiesein wenden muss.