Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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12. lKapitel.

M~inner die besonders eiufachen Versuche angestellt hiatten, ei'nmal
a - b == 1 und einmal a - b -- 2 zu setzein. Das Yerfahren des
Euklid kann als Bestiitigung unserer Vermuthungen gelten. Nach
der besonderen Annahme konnte und musste man dazu u~bergehen
fMr a + b und a - b irgend welche Thnliche Flichenzahlen zu
wiihlen, und dieses that Euklid. Er l'asst dhilniche Flachenzahlen,2
d. hi. soiche, weiche proportionirte Seiten haben (Definition 21. des
V1I. Buches), und deren Produkt eine Quadratzahl geben muss
(Satz 1. des IX. Buches), bilden, etwa a 13p2 und CC. r 2, und verlangt
dabei, dass beide grade oder beide ungrade seien, damit ihr Unterschied halbirbar ausfalle. Unter dieser Yoraussetzung wird sodann
a2132 a y2 + (P 32 _ ~2)2 (9(2 + y2 2mithin sind die Seiten des
reclitwinkligen Dreiecks a p y, 12 y 2 gefunden.
Wir haben noch den Inhalt des letzten Haupttheiles der euklidischen Elemente anzugeben, der in dem XI., XII. und XIII. Buche
enthaltenen Stereometrie. Im XI. Buche beginnt diese Lehre genau
in der Weise, wie sie' audi heute noch behandelt zu werden pflegt,
mit den S8itzen, weiche auf parallele und senkrechte grade
Linien un d E be-nen sich beziehen, woran Untersuchungen fiber
Ecken sich schliessen. Alsdann wendet sich der Verfasser zu einem
besonderen K~5rper, dem Parallelopipedon und gelit nur in
dem letzten Satze des Buches zu deni ailgemeineren Begriffe des
Prisma fiber.
Das XII. Buch enth'a'lt die Lehre von dem M aa s se d es k r p er -
lichen Inhaltes der- Pyramide, des Prisma, des Kegels, des Cylinders und endlich der Kugel. Eine wirkliehe Berechnung findet sich
ailerdings bei Euklid nie, weder wo von Flacheninhalten noch wo
von Ki~rpermaassen die Rede ist', ufid namentlich bei solchen Raumgebilden, zu deren Erzeugung Kreise oder Kreisstiicke beitragen, ist
nirgend angegebena, wie man eigentlich zu rechnen habe. Solite die
Ausrechnung des Kreisinhaltes von den Aegyptern bis zu Euklid
verloren gegangen sein'? Die Unwahrscheinlichkeit dieser Annalime
der melirfachen Besch'aiftigung mit der Quadratur des Kreises bei
Anaxagoras, bei Antiphon, bei Bryson, bei llippokrates gegenfiber
wird vollends fUr einen in Alexandria lebenden Mathematiker zur
Unmo-glichkeit. Aegypten, weiches das Althergebrachte mit Zaihigkeit festhielt, weiches emn Exemplar des Rechenbuches des Ahmes
noch mehr als 2000 Jahre spiaiter als Euklid uns unversehrt fiberliefert hat, war naicht das Land, in weichem, so unbedingt Nothwendiges wie die Kreisrechnung vergessen wurde, und ebenisowenig liaisst