Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Alexandria. Die Elemente des Euklid.25

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convexen Bogenseite gegen die Beriilirungslinie hini erl'aiutert der
Verfasser niiclit. Endlicli schliesst das III. Buch mit den einzeln betracliteten Faillen zweier Geraden, die sich gegenseitig und
ebenso einen Kreis selineiden, und aus deren Absechnitten gewisse Rechtecke zusammengesetzt werden, weiche Flichengleicliheit
besitzen.
Der Sch"Iler wird nun im IV. Buche weiter mit den Figuren bekannt gemaclit, welche entstehen, wenn mehr als zwei Gerade mit,
dem Kreise in Verbindung treten. Er lernt die dem Kreise emnund umscliriebenen Vielecke insbesondere die regelmtissigen
Vielecke kennen. Unter diesen ist das Fiinfeck, und dessen Construction maclit die erste Anwendung des im II. Buche, wie wir entwickelten, zu anderem Zwecke gelehirten goldenen Schnittes nothwendig. Das IV. Buch kommt an den aussersten mit den bisherigen
Mittein erreiclibaren Zielpunkten an. Die Gleicliheit von Strecken
und FIachenrijumen ist nach alien Seiten er~rtert.
Nun kommt die Ungleichiheit in Betraclit, insofern sie gemessen
werden kann, und zwar ist diese Messung eine zweifache, eine geometrische und eine arithmetische. Beide beruhen auf der Lelire von
den Proportionen, welche deshaib in dem 5. Buche an dem Sinnbilde gerader Linien in vollst'aindiger Ausflllirliclikeit dargelegt wird.
Die im Verhaltuisse aufgefassten Gr6ssen sind als Linien gezeichnet,
damit niclit hier schon der Schwierigkeit zu begegnien sei, eine
Unterscheidung zu treffen, je naclidem Commenusurables oder Incommensurables auftritt. Die Linien sind aber nur nebeneinander gezeichnet, oline Figuren zu bilden, damit man einsehe, wie es sich
hier urn Ailgemeineres handle als urn die Vergleichung geometriscber
Gebilde.
Erst das VI. Buch ziehit die geometrischen Folgerungen aus dem
im V. Buche Erlernten. Die Aehuliclikeit von Figuren gelit ans
der Proportionenlelire hervor und dient selbst wieder dazu Proportionen an geometrischen Figuren zur Anschauung zu bringen. Dabei
kommt der Begriff des zusammengesetzten Verhuiaitnisses vor,
weicher spiiter (vergi. 20. Kapitel) von grosser Bedeutung wurde.
Im 23. Satze des VI. Buches ist von dem VerhUiitnisse je zweier
gleichliegenden Seiten zweier Parallelogramme mit gleichen Winkein
die Rede, und die Fl~chen der Parallelogramme, heisst es weiter,
stehen in einem Verh'a'ltnisse, weiches aus dem der Seiten zusaminengesetzt ist 1). Auci Archimed, wir wollen das gleich hier erwa-hhnen,
') 0yog avyz4pevog h% (vcro) ccov nisvqcov (106ycov). Euclidis Elementa (ed.
Heiberg, Leipzig, 1888-88) I1, 146 lin. 14.