Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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1 1. Kapitel.

dem Vorhergehenden zu Z HK = TA4 = BrF. Wegen der Grundeigens chaft der Quadratix ist auch Bogen B Ed: Bogen Ed BF: IHA
und, weil die concentrischen Quadranten B Ed,~ Z HK dureli den
Haibmesser THE geschnitten sind, ist ferner Bogen BEd:- Bogen'
EdJ Bogen Z HK: Bogen HK = Br: Bogen HK. Daraus folgt
B A4 wieder dureli Verbinduncr zweier Verhiailtnisse
E Bogen HK == HA, was unmi5glich ist. Die
E Annalime, dass der Punkt K zwischen F und (9
z ~~~~fiele, mithin TK < r(9wiaire (Figur 41) flihrt
gleichfalls zu Widersprechendem. Man beschreibt wieder mit F als Mittelpunkt, rnd TX
als Haibmesser einen Quadranten, so muss
r K o ~~ wieder BEd: ZMK BT.. TX sich verhalten.
Fig. 41. Yoraussetzringsmiissig ist B Ed: Br F = B F: TX,
mithin Z MK = BrF. Ferner findet das Verhlailtniss statt Bogen
Z MK: Bogen MK Bogen B Ed Bogen Ed rind, weil B H6
Quadratrix ist, audi Bogen B Ed - Bogen Ed = BT: HK, folglich
Bogen ZMK:- Bogen MX == BrF: HK. In dieser Proportion ist, wie
oben gezeigt wurde, das erste rind dritte Glied tibereinstimmend,.also
muss das Oleiche fUr das zweite und vierte Glied stattfinden, d. h.
es muss Bogen MK = HK sein, und das ist niclit mo5glich. Der
Prinkt K, dessen Entfernring vom Mittelpunkte r das Schluissglied
der Proportion bildet, deren Anfangsglied die Quadrantenlaiinge und
deren Mitteiglied der Haibmesser ist, kanri also weder rechts noch
links von (9 fallen rind muss deshalb (9 selbst sein.
Dieser Beweis ist der erste indirekte Beweis' welchem' wir begegnet sind, werin wir auch keineswegs annehmen, hier sei wirklich
zuerst die Zuritickfiihrung auf Widerspriiche vorgenommen worden.
Die analytische Methode, das haben wir ja gesehen, musste den Beweis aus dem Gegentheil bevorzugen, als denjenigen, der eine nachfolgende Synthese entbehrlich maclite (S. 208), rind so wird audi
wohll sp~iestens mit dieser Methode der apagogische Beweis entstanden
sein - spiaitestens, derin es ist keineswegs uinmodglich, dass er zum
Zwecke der dem Hippokrates scion nicht fremden Exhaustion erfunden worden weire. Zu dem bewiesenen Satze selbst wollen wir
noch besonders hervorheben, was wir oben gelegentlich gesagt haben.
Der Name der Quadratrix darf uns niclit irren, als oh es bier wirklich rim eine Quadratur sich handelte. Diese folgt erst in zweiter
Linie. Eine Re ctifi cation des Kreisquadranten ist vielmehr vorgenommen, rind zwar duirfte es das erste Mal gewesen sein, dass
diese Aufgabe behandelt wurde, urn welche von jetzt an die Zahi der
grossen Probleme der Geometrie vermelirt ist.