Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Die Akademie. Aristoteles.27

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deutlichsten mit demn Wesen der zelin Proportionen uns bekannt,
machen. Es bilden die drei Zeilen cz,(,y
diet. Proportion a- 3=(3y wenn a==3f3=-22'=
2. a:(3==43:y a=4 2 =2 = 1
3. ay (- ):(-)a=603=4y==3
4. ay =0-):a() a= —6 3=5y==3
5.: y=(0 Y)(aI) a-=5j3==4 y- 2
6. a:13=(13-y):(a-() a =6t3=~4 y=-1
7. a y =(a -y):(13-p) ce=9 3==8 7==6
8. a:7 (a - ):(a-I)a=9 0=7 y==6
9. j3y (a -y)( )a=- 7 l=-6 y==4
10. (3y=ay:(a —3) a 8 0== 5y==3
Beim ersten Anblick vermisst man in dieser Liste, so umfangreich sie ist, zwei Proportionen, weiche der 3. gegenilber eine iihnliche Berechtigung zu haben scheinen, wie 5. und 6. neben 4., niaimlich
3a. (3: y=(a -j3:( y)
3b. a.,13==(cc-f3:(3-).
Bei n~iherem Zusehen ergibt sich aber, weshaib sie fortblieben. Sie
werden erf~llit, sofern a y =- (32, siud also in 2. bereits mit eingeschiossen, beziehungsweise werden durch die gleichen Werthe a, i0, 2'
erfililt, weiche 2. befriedigen.
Andererseits erscheint es uns Neueren gar verwunderlich, dass
die Griechen alle diese F~ille unterschieden, mit, deren sieben letzten
im Grossen und Ganzen gar nichts geleistet ist, dass sie in der Erfindung derselben etwas hinhinglich Bedeutendes erkennen, um die
Namen derer aufzubewahren, von weichen- jene Leistung herrifihrt.
Wir werden in die griechische Stufenleiter der Werthsch~itzung uns
hineinfinden kibnnen, wenn wir zweierlei erwilgen. Erstens, dass eine
grosse Zahlengewandtheit dazu gehbrte siimmthiche zehn Verhiiltnisse
ganzzahlig zu erfiillen, zweitens, dass, die aus, vier von einander verschiedenen Zahien gebildete geometrisehe Proportion mit den aus ihr
abzuleitenden ftir die Griechen his zu einem gewissen Grade die
Gleichungen mid deren Umformung ersetzte. Die Folgerung von
cc: (3 = auf ( 3:( 2'+~
z. B. spielt, bei den Griechen fortdauernd die allerbedeutsamste Rolle.
Stetige, Proportionen, hatten zur Kenntniss der arithmetischen, der
geometrischen Reihen, jene wieder zur Kenntniss der vieleckigen
Zahien gefiflirt. Was Wunder, dass, man weiter experimentirte, dass
mnan immer neue VerbindungengLylcher Verh'a'tnisse zwische.4 Zahien