Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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9, Rapitel.

der Unmdglichkeit der entgegengesetzten Annahrne, umusste vorausgehen uud das bilden, was man die geometrische Exhaustion
nennt.
Aller Walirseheinliclikeit nach versuehte Hippo kr ate s von
Cis zuerst oder als einer der Ersten eine solche Schlussfolgerung
urn zu dein Satze zu gelangen, dass Kreisflichen den Quadraten
ihrer Durchmesser proportional seien, ein Satz, den er, wie
Eudemus ausdrilcklich sagt I), bewiesen hat.
Wir bemerken rfickblickend auf die Quadraturversuche des Antiphon
und des Bryson, dass dieselben nur soiche geometrische Thatsachen
voraussetzten, weiche jedem Georneter pythagora~ischer Schulung bekaunt sein mussten: Einschreibung und Umschreibung regelmRnssiger
Vieleke in und urn einen Kreis und Verwanldlung beliebig gestalteter
gradlinig begrenzter Figuren in einander,7 beziehungsweise in emn
Qunadrat, und gehen nun zu dern YerfahF ~~~ren Uiber, mittels dessen llippokrates zur
Quadratur des Kreises zu gelangen
traclitete. Er beschrieb (Figur 30) f-ber
einer Geraden A B einen Halbkreis, zeichA J B ~~~nete in denselben das ogleichschnlg
Fig. 30 Dreieck A BrFund beschrieb fiber dessen
Katheten als Durelimesser neue Haibkreise. Nun ist A B2 - A r, + rB2 und wegen der Proportionalitat
von Kreisen, beziehungsweise von Halbkreisen mit den Quadraten
ihrer Durcliresser wird auch der llalbkreis fiber A B der Summe
der Halbkreise fiber A Ir und Fr gleich sein, oder dem Doppelten.
eines dieser kleineren llalbkreise. Der llalbkreis fiber A4 B ist selbst
auch das Doppelte des Viertelkreises, wleiher durch A riJ zu benennen ist, mithin dieser Viertelkreis gleich dem Halbkreise fiber Al?.
Nimnrt man von beiden den Kreisabschnitt weg, weichen die Sehne
A Ir mit dem Bogen APF des zuerst gezeichneten llalbkreises bildet,
so bleibt das gradlinige rechtwinklige in emn Quadrat verwandelbare
Dreieck A rzi gleich der durch zwei B~gen zwischen A und F eimgeschlossenen halbmondf6rmigen Flijehe, und diese Figur, weiche bei
Hippokrates unjvt'xog Mondehen (lateinisch lunula) heisst, ist somit
thats'achlich quadrirt. Hippokrates geht nun weiter, und zwar auf
dem Wege, dass er die Quadratur eines Kreises in Abh~ingigkeit von
der einer haibmondartigen Figur bringt. Er zeichnet (Figur 31) in
einen llalbkreis emn Paralleltrapez emn, dessen grdssere Seite der
Durchmesser selbst ist, wdhrend jede der drei anderen Seiten eine

1) Eademi fragmenta (ed. Spengel) pag. 128? lin. 29.