Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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7. Kapitel.

deckte das Irrationale, worauf das alte Mathematikerverzeichniss
emn so sehr berechtigtes Gewiclit legt. Er entdeekte es grade an der
Hypotenuse des gleichisehenkligen reelitwinkligen Dreiecks, wie aus
mehr als nur einem, Umstande wahrseheinlich gemaclit werden kaun.
So erzahlt uns Platon, der Pythagoraer T he o d or us v on K yr e ne,
der ihn selbst in der Mathematik unterriclitet hatte, habe bewiesen,
dass die Quadratwurzel aus 3, aus 5 und anderen Zahien bis zu 17
irrational sei 1). Von der lrrationalit'at der Quadratwurzel aus 2 ist
dabei keine Rede; diese muss also vorher bekaunt gewesen sein.
Aristoteles weiss dagegen an vielen Stellen von der Irrationalita~t der
Diagonale des Quadrates von der Seite 1 zu reden, und sagt einmal
gradezu, der Grund dieser Irrationalit'ait liege darin, weil soust Grades
und Ungrades gleich sein mlisste2 2) Den Sinn dieser Worte erlautert
aber Euklid. Er gibt nalmlich folgenden Beweis, den wir nur so
weit abgeandert hahen, dass wir Euklids Worte in moderne Zeichensprache umsetzten3). Es sei AIF zu A B (Figur 27) commensurabel
A B ~~und verhalte sich in kleinsten Zahien wie a zu/;
folglich muss wegen A F > A B auci a > /3 und
sicherlich > 1 sein. Weiter folgt ArF2: A B 2 - a2: /32
und wegen Ar 2 - 9AB2 auch a2 = —2/2, folglich a2
und mit dieser Zalil zugleich audi a eine grade Zahi.
r Die zu a theilerfremde /3 muss daher ungrade sein.
Fig. 27. Die -grade a sei = 2 y, So folgt a2 == 4 72. Es war
a2 -= 2/32, mithin ist 2/32 - 4y72, /32 -2 y2 grad und auch /3 grad,
was mit dem eben bewiesenen Gegentheil einen Widerspruch bildet,
der zur Aufhebung der Annalime fillirt, als k~nne die Diagonale mit
der Quadratseite in einem rationalen Zahlenverh~iltnisse stehen. Man
sielit, das muss der Beweis gewesen sein, an welehen Aristoteles bei
seiner Aeusserung daclite. Es ist also emn Beweis, dessen Alterthum
l-ber Aristoteles hinaufreicht, und der, nach der kurzen Weise, in
weicher dieser ihn andeutet, zu schliessen, den Lesern des Aristoteles
zur Genilge bekannt sein musste. Wir gehen deshaib vielleiclit
nicit zu weit, weun wir grade diesen Beweis als einen hergebrachten
ansehen, als, denjenigen, der in der alten pythagoraischen Schule gefiihrt wurde, mag ihn Pythagoras selbst oder einen seiner unmittelbaren Schiller und Nachfolger ersonnen hahen.
War in der That die Diagonale des Quadrates als irrational,
die Diagonale des Reehteckes mit den um eine Liaingeneinheit, verschiedenen Seiten 3 und 4 als rational, namlich mit der Lange 5,
bekannt, dan-n war es m6glich, dass man audli Quadrat und Hete') Platon, Theaetet 147, D. ') Aristoteles, An alytica prot.I1, 23, 11.
8)Euklid X, 117.