Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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6. Xapitel.

Selirift fiber vieleckige Zahien zugeschrieben wird, weiche er nebst
einer anderen Uiber Aritlimetik bei Philipp von Macedonien verfasst
haben soill'), so scheint uns damnit der Beweis geliefert, dass wie die
Quadratzahl uind ihre Entstehung aus den ungraden, wie die heteromeke Zahl und ihre Entstehung aus den graden, so auch die Dreieckszahi uind ilire Entstehung aus den unmittelbar auf einander folgenden
Zahlen bereits pythagor~iisch gewesen sein mtisse.
Bei diesen drei Summirungen von nach einfachen Gesetzen fortschreitenden Zahien blieb man aber, wie uims berichtet wird, nielit
stehen. Man schrieb die Reihe der Quiadratzahlen, von der 1 an, man
schrieb darunter aber erst von der 3 anfangend die ungraden Zahien,
und wenn man nun jede solche ungrade Zahi der zugehia5rigen Quadratzahi ale Gnomon zufiigte, so entstanden wieder Quadratzahlen ').
FUr rims herite fitilt freilicli diese Entstehungsweise:
1 4 9...n2
3 5 7...2n-j —1
4 9 16...(n-f- 1)2
mit der ersterliluterten Bildung der Quadratzahlen zusammen, aber
den Alten war sie besonderer Hervorhebring werth. Nikomachus,
ungef~ihr Zeitgenosse des Theon von Smyrna, rind ihm geistesverwandt, hat emn Beispiel Thulichen Verfahrens bei Dreieckszahlen
unms bewahrt3). Jede Dreieckszahl, sagt er, mit der n~ichstfolgenden
Dreieckszahl vereinigt gibt eine Quadratzahl rind wirkileli ist
(n - ) n+ 2 (n+1= 12. Hier wagen wir nun, gestfitzt auf alle
diese einander 'alinlichen Verfaliren, eine rinmittelbar niclit auf Ueberlieferung sich stiitzende VermrithUng4). Wir nehmen an, es sei auch
die Addition von je zwei auf einander folgenden Quadratzahlen vorgenomrmen worden, um wie in den vorher erw'alinten Beispielen emnmal zuzusehen, ob dabei etwas Bemerkenswerthes sich entltillle. lIn
der That fand sich emn hi~chst auffallendes Ergebniss: Die Qua dratzahien 9 und 16 lieferten als Summe die n'aichste Quadratzahi 25, rind nur bei ihuen zeigte sich diese Erseheinung. Dem
heritigen Mathematiker ist Solehes freilich niclit auffallend. Wir erkennen sofort, dass die Gleichung (X _ 1)2 ~ X2 - (X + 1)2 nur die
Wurzeln x 4 rind x --- 0 besitzt, dass also nur 3 2+ 42 52 auiftreten kann, wenn man (- 1)1 ~ 02- 12 oder anders geschrieben
')Btoyqacpo4' vitarum script ores Uraeci iniiores edit. Wee term ann. Braunecliweig, 1846, pag. 446. 2) Theon Smyrnaeue (ed. Hiller) 32. 3) Nicomachue, Eisagog. aritbm. II, 12 (ed. Hoche), pag. 96. 4) Math. Beitr.
Kulturi. 106-107.