Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Pythagoras rind die Pythagoriler. Aritlimetik.15

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gebniss rechinender Ueberlegung den Sinnen erfassbar zu machen.
Die Gnornonzahlen waren unter den bis hierher besprochenen niclit
die einzigen, deren Yersinnlichung die Pythagoriier sich angelegen
sein liessen. Die Quadratzahlen selbst bilden emn anderes Beispiel,
emn anderes die Heteromekein. Auf die Yersinnlichung fifhren auch
die Namen Fl~chen- und Kibrperzahlen zuriick, zu deren pytliagor~iischem Vorkommen wir uns nunmelir wenden.
Im platonischen Timn~us findet sich eine Stelle, weiche etwa
folgendermassen heisst: Urn mit zwei Fliichen eine geometrische
Proportion zu. bilden, deren ilussere Glieder sie sein sollen, genUge
es eine dritte FhIche als geometrisches Mittel anzusetze-n; sollen aber
zwei K~5rper die Riusseren Glieder einer geometrischen Proportion sein,
so milsse man zwei von einander versehiedene innere Glieder annelimen,
weil emu geometrisches Mittel nicht vorhanden sei 1).
Filiachenu und Kbrper kdnnen hier nur als Zahien und zwar als
Produkte von zwei beziehungsweise von drei Faktoren angesehen werden.
Das heissi man wusste damals, dass im Allgemeinen das Maass einer
Fliiche, einaes Ki~rpers gefunden werde, indem man zwei, drei Abmnessungen mit einander vervielfiultigte. Die Erkiliarung von Fl~ichenund Ki~rperzahlen als soicher Produkte ist ausgesprochen bei Euklid 2),
sie ist ausgesprochen bei Theon von Smyrna3). Beide bedienen sich
der Namen &U'qvaoi 1='X66ot fUr die Flachen-, acqt~oi 6arEsoC( fi!r
die Ki~rperzahlen, und der pythagor~iische Ursprung derselben beweist
sich aus der eben hervorgehobenen Thatsache, dass nur mit ihrer
ililfe die Timiiusstelle zur Kiarheit gelangt. Denken wir uns PAPAA
q1 q2 q. als sechs Primzahlen und jedenfalls keine von den Primzahlen p
einer Primzahl q gleich. Nun ist p1 p2 eine FlIichenzahl, q, q2 eine
zweite. Deren geometrisches Mittel l'asst sich bilden, d.h /PPq2
ist rational ausziehbar, sofern p1 p, und zugleich q, 1 q2. Die
gefundene Proportion heisst unter Weglassung der in diesem Falle
unnibthig gewordenen Indices p2: pq = pq:q2 und es genu~gte wirklich eine dritte Flaiche als geometrisches Mittel anzusetzen, urn mit
den angegebenen beiden Filichen eine geornetrische Proportion zu
bilden, deren 'Russere Glieder sie sein soliten. K6rperzahlen werden
ferner sowohi p1 p p3 als q,. q2 q. Deren geometrisches Mittel
"pp2p3q~q2 q3 ist aber nie rational, wenn die Vorschrift kein p
einern q gleich werden zu lassen eingehalten wird, mdgen die pund
1) Etudes sur le Timi~e de Platon par Th. H. Martin I, 91 uind 837-345
rind Hultsch in Fleckeisen rind Masius, Neue Jalirbileher fair Philologie
uind PAdagogik. Jalirgang 1878. Bd. 107, 493-501. 2) Euklid VII, Definitionen 16 rind 17. 8) Theon Smyrnaeus (ed. Hliller), pag. 36-37 und
h~iufiger.