Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES. 87
donne ainsi, apres avoir supprime dans les deux membres le facteur exponentiel,
A - Al h A 2 h2 -...- A,,hn
-= &4- &l(o,) -- h) -+- j2(( + h.-+..+ /,(( T h)2 h)n.
Changeons maintenant h en h - w; nous en concluons
A Ai( — o - h) + A2(- o + h)2 +...J+ Al,(- O + h),
= A - Jloi h -+- e,2 h2.-. +,JLt hn,
et l'on voit que le developpement du premier membre suivant les
puissances de h donne bien pour les coefficients A, &A,,... les
valeurs precedemment obtenues.
Cela pose, nous tirerons de la decomposition en fractions simples
de la fraction rationnelle f(x) la transformation suivante de l'expression e'xf(x). Soit, a cet effet, en designant la partie entiere
par F(x),
f(x)=F(x) A + Al
x —f )a _(X C +). * (x-a)n+l',
ou plutot, apres avoir modifie convenablement les constantes A1,
A2,..., An,
(x) = F(x) + A(x — a)-i
_tZ A d(x —a)-'.. d"n(x- a)-'
^ A, dx A,-+ -" +- A
je ferai, d'apres la remarque precedente,
ex [A(x a)-l Al. d(x- a)-1. Ad(x - -a)-]I
[e )X(x — a)-i]+A [e) (x-a)-..
7X
+ n d- [eWo (x - a)-1].
Or, en ajoutant membre a membre les relations de meme nature
qui correspondent aux divers groupes de fractions simples, on