Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

84 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
voici maintenant, la possibilite du developpement admise ( ), comment se determinent les coefficients. Le premier s'obtient en multipliant les deux membres par dx, et integrant entre les limites
zero et 27Z; ayant, en eflet,
f cos mx dx - o, sin mx dx o,
il vient ainsi
r2 7
T27Ao0= f(x) dx.
J'opere ensuite d'une maniere analogue en multipliant successivement par ]es facteurs cosnzx dx, sinmx dx; les relations precedemment etablies, a savoir:
27C 271
Iosm.x cos nx dx o, co mx sin:nx dx = o
montrent que I'integration entre les limites zero et 2i deliminera
tous les coefficients de la serie, sauf A,,, et B,,, qui seront respectivement multiplies par les quantites
cos2 mx dx = sin2 n x dx= 7,
et nous trouverons, par consequent,
i27r r 27:
71 A:,/ f(x) cosrmx dx, 7 B,,= / f(x) sin mx dx.
C'est cette expression de A,.. et B.,, au moyen d'integrales definies, qui donne le moyen de s'affranchir de la condition de continuite que suppose absolument le mode de determination des
coefficients de la serie de Mlaclaurin
x/>/ ' // x - X, ( x - x0 )2 f
f(t) =/f(0o) + -f (fo + - -- - (0o+ I+....
[ 1.2,

(1) Je renverrai pour la.demonslralion rigoureuse au Memoire celebre de
Dirichlet, sur la convergence des sdries trigonometriques qui servent a represenler une fonction arbitraire entre des limites donn6es (Journal de Crelle,
t. I, ). I57).