Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES. 83
VIII. Les series qui precedent suivant les puissances entieres et
positives d'une ou de plusieurs variables ont pour caractere essentiel d'etre continues lorsqu'elles sont convergentes, et c'est en
admettant cette condition de continuite qu'elles ont ete employees
dans les applications geometriques, et en particulier dans les theories du contact et de la courbure des lignes et des surfaces. Mais
]'analyse conduit a des series d'une autre nature, qui, tout en restant convergentes afin d'avoir une limite determinee, ne sont plus
necessairement continues, et peuvent, lorsque la variable crolt par
degres insensibles, representer diverses successions de valeurs
appartenant a des fonctions de formes tout a fait differentes. Un
premier exemple en a deja ete donne, et nous avons vu qu'en
faisant
f(x) s - sin 3 x sin 5x
f(x) = sinx + - + --...
3 '5 -4 —...
on a
f(X)=
lorsque la variable est comprise entre 2 nf et (2n + I)-T, tandis
qu'on obtient
f(x)=quand on la suppose comprise entre (a n - i)i et a nTc, n etant un
nombre entier quelconque. Or, cc resultat se rattache a une formule generale donnant un nouveau mode d'expression des fonctions d'une grande importance en Analyse, et que je vais indiquer
succinctement.
Soit J(x) une fonction donnee entre les limites x = a, x = b,
avec la seule condition d'etre toujours finie; la suivante:
J/z/=S ^ b - a \
f(x) =, --— ),
27T
le sera de mime depuis x=o jusqu'a x= 2:, et l'on prouve
qu'elle peut se representer de la maniere suivante:
f(x) = Ao-+ A cosx -- A2 cos2x + —...-+A,, cosomx -...
- B, sin x -+ B2 sin ax -.. 4- B, sin mx...;