Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

duit ab. Nous avons donc
27r
sin nx sin nxdx - o
lorsque m et n sont diff6rents, tandis qu'il vient, si on les suppose
egaux,
2 7
I sin mx cx dx=.
On trouve d'ailleurs directement ces relations au moyen des
identites
2 sin mx sinnx = cos(in - n)x - cos( m 4- n)x,
2 sin2 mn =I - cos2 mx,
qui donnent les integrales indefinies
f sinxsinnxd = sin(m-n)x sin(m 4- i-)x
sinmnx sinn x dx =
2 (7 -- n) 2 (2 - n)
r. x sin 72 2x
sin2 m x dx = -x s
2 4 n.
et, par suite, comme on voit,
27C 27~
sin fmx sin nx dx = o, sin2 nm x dx =C.
En partant de celles-ci:
2 sin mx cosnx = sin (in +- n)x -- sin (m - n)x,
2 cosmx cosnx = cos(m + n)x + cos( - n)x,
nous aurons semblablement
27r
sinnx cosnx dx = o,
meme dans le cas de m - n, puis
27T 2 7
2 cosmx cosnx dx = o, I cos2mx dx = n.
Ces integrales definies, qu'on obtient si facilement, conduisent,
comme nous allons voir, a d'importantes consequences.