Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES. 81
la decomposition en elements simples conduit d'abord a la relation
sin'2x / - - x -l \
-----, J cot --- -ot
(CosX-cosx)(cos J. - cosx) 2
-t- b ( _- -cot - t
en posant
sin,1 sin.
2a& --- I a2 --
cos - Cos), cosos - cos
Faisant encore
)X =O\-, I. - r = ea', b = -- eP,
nous trouverons, en nous bornant, pour abreger, au seul cas de
Ca< o, 3< o,
27r 4 ab sin2x clx
(i- 2a cosx +- a2) (I-2b cosx + b2)
= —27- (L +4 +~lb)47 / —,;
or, on a facilement
[J f< i r - - ab
Ai -r- - = - cot - - ' - 1
2 2 2 -ab
d'ou cette formule,r^__ c.xsin2 x dx
J0 ( -^'2a cosx + — a2) (I- 2b cosx -- b2) i- ab
qui donne un resultat important en developpant les deux membres
suivant les puissances de a et b. Si nous employons, a cet effet,
les relations
sinx
I --- 2 ~t COS X -4 - ( ) x,
sin l sin(in il)x
I - 2 a cosx -a2
-2bcosx+b = btZ sin(n + J)x,
I+ 2 b cosx b2
o0i m et n recoivent toutes les valeurs entieres de zero a l'infini,
on parvient a l'egalite suivante
Z ai bilf sin(n +- i)x sin(/n - i)x clx = T(i -+- ab +- a2b+...),
dont le second membre ne renferme que les puissances du proH. - IH. 6