Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES. 79
qui sera decrite dans le sens inverse. Cela etant, dans le premier
cas, l'angle croit avec x, et nous avons
M'Ox-= MOx 4- T;
dans le second, au contraire, il decrolt, et nous passons de la
valeur MOx a M/'Ox = MOx -; les deux rayons vecteurs OM
et OM' sont d'ailleurs egaux, ce qui fait disparaitre la partie logarithmique; par consequent, en designant par (b) une quantite
egale a l'unite en valeur absolue et du signe de b, nous aurons
27
c cot (x- -b \-1) dx = 2(b) -.
2
Voici quelques applications de cetle formule:
Posons
x = a /_-7
dans la relation
2 s i n ll r-, r,- ),
- cot- -cot
COSX - COS. 2 2
etablie page 62, et soit a - e; elle prendra cette forme
-(1 - a") i - x a _ I
( --- c -- ~ -- (I cot - cot,
i -- '2a cos x - aa 2 2
et nous en conclurons sutccessivcment pour a < o et a > o, c'esta-dire en supposant a < j et a > i,
/27r (T-a2) dx (- a) dx
I -2acosx-+ — -a cos2 -4- a2 c 4:
— I -2 a COSX + a9- +
Le second cas se deduit d'ailleurs immediatement du premier
par le changement de a en -.
Soit encore l'expression plus generale
COS Z X
cosX - cosx
m etant un nombre entier quelconque; en faisant
eX =1 = z,
elle devient
- 2m1I - 2 coX
t Z —I (I- 2 Z COSh ' — Z2)