Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES. 77
Reprenant, a cet effet, l'expression
f(sinx, cosx = I1(x) -+- P(x),
j'observe d'abord que la fonction ~ (x) devra etre finie pour toutes
les valeurs de la variable comprise de zero 'a 27, c'est-a-dire quel
que soit x, puisqu'on a F(x + 2)- ) (x); ainsi dans les elements simples cot (x -a), aucune des constantes a ne sera
reelle. Ceci pose, les termes periodiques de l'integrale indefinie
des fonctions H(x) et ~(x), reprenant la meme valeur aux limites
x= o et x 27,) ne figureront point dans le resultat, et nous
aurons seulement a considerer le terme Cx, ainsi que la partie
logarithmique & a log sin - (x - a). Du premier resulte immediatement la quantite C227; mais les termes transcendants demandent
une attention particuliere. Comme dans le cas plus simple de
1'expression
dx
J.o -a-p /-i
la relation
cot-(x -c ) dx = 2 log silJ2 2
ne determine pas sur-le-champ, a cause des valeurs multiples des
logarithmes, l'integrale definie prise entre des limites donnees xo,
x,, etj'indiquerai d'abord de quelle maniere on y parvient avant
de supposer xo. o et x- = 2r.
Soient
a = a '+ b \/-i, sin -( - a) =X -+ Y V-i.
Envisageant X et Y comme les coordonnees OP et MP d'un
point M rapporte a deux axes rectangulaires Ox et Oy, je figure
la courbe MM' qui sera le lieu de ces points lorsque la variable x
croitra de xo a x,. De cette maniere, le rayon vecteur OM = R et
l'angle MOx- 0 seront, a partir du point M, correspondant a
x xO, des fonctions continues entierement determinees de la
variable x. Remplacant donc cot- (x - a) par la derivee logarithmique de
sin (x -- a) = X -+ Y -I = R(cos 0 -- V/-' sin ),