Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

sant sinx X dans la formule generale
4f (x) dx =Cx -- 2 log sin (x- a)
2I 2~~~~~~~~
d'1-1 cot-( x =)
+- A1 cot ( (- - a) +. - ^ - 2
Z dx'1-1
la partie transcendante est donnee par les termes Cx et
C cot-(x - -a) dx = 2 log sin -(x- ),
J 2 '2
dont le dernier prendra la forme suivante. Soient
Y ==-/-X2, a = sina, b = cosa,
on aura
(r I,d x r sin(x-l1) f bX-aY dX
~ cot -(x - ) = - (x dx -,
cJ 2 J - cos(x —a) J i-aX -bY Y
de sorte qu'au lieu de la fonction de troisieme espece amenee par
la methode d'integration des radicaux carres, a savoir:
bdx log(i - ax - by)
(x -a)y x- a
nous sommes conduits a la quantite
br -easya -= log( - ax by).
i-ax-by y
Mais j'arrive, sans insister sur ce point ( a), a une derniere consideration, I la ldetermination de l'integrale definie
21t
f f(sinx, cosx) dx.
(1) On a, d'une mani6re plus generale,
(cb'- bc') x - (ac'- ca') y + ab'- ba' dx l ax -- by - c
(ax + by - c) (a'x +- b'y -+ c') y a'x +- b'y - c
et lon doit remarquer les cas particuliers dans lesquels cette int6grale ne devient
ind6finie que pour deux valeurs de la variable. Ils se presentent lorsque les
droites ax -+- by -+ c = o, a'x -- b'x -- c' =o se coupent sur le cercle x2ay2-,
ou lui sont tangentes.