Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES.

Soit encore l'expression -si+ + qui, en supposant
a + un nombre pair, aura, comme la precedente, la periodicite
de O(x). Au lieu de deduire l'integrale
r dx
sina-1 x cosP+1 x
de la relation
I -, dcotx + dcotx
C -- C ---cot x 4- cdL +d...4- ca d
sin-+l x cosp+lx dx dx
dtangx dtangx
+- lb tangx -+- il~b - +...14- q8 d —,
nous ferons toujours cotx = 1, et l'on voit que la transformee
a+[
t(l 2 2dt
a+43
s'obtiendra facilement en developpant la puissance (I + t2) 2
dont l'exposani est entier dans l'hypothese admise. Si nous faisons
en particulier r - -, a - n +- I, nous trouvons, en designant
par n1, n2,... les coefficients de la puissance n du binome
dx, nl 17,2 I
f —2- = - cotx -- O Gt3 Co5 xc —...- ---- cot2Lx,
sin2"+2 3 5 -I n' t I
pnis, en changeant x en; -x,
2 — =Ltangx+ -- tang3 X -+2 tangs tx... -- -tang2+1.
JCOS2n^-2 x 3 5 '2 n -
VII. L'integrale f/(sinx, cosx) dx se ramenant par la substitution sinx = X a cette forme.f(X,,dX
ff(x,.v/ xi)
J7- X2
qui a ete l'objet d'une etude anterieure, nous devrions maintenant
comparer les deux procedes d'integration, et les resultats auxquels
ils conduisent. A cet egard, je me bornerai a remarquer qu'en fai