Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES. 73
soit en formant la puissance n 4- ainsi que les derivees de la
serie
T X X3
COtx = - - - - - -.
x 3 45
et substituant dans l'equation pour identifier.
Or, la variable cotx = t, qui est indiquee par la forme connue
d'avance de l'integrale, en donne facilement la valeur, car ayant
fcot'n+'x dx = f-t
y ~CO-~~tt~LH~1 X dx =- I + til suffira d'extraire la partie entiere de la fraction -- si n est
impair, on formera ainsi l'egalite
n-n —
t —t = t'-1 - tl —5 — t' ---... +( ) (- I) - + -
d'o-u
rtl+l dt t: tt-_2 t' - n-1 n -1
Jf t+ - -- -. —..+(-i 1) t-( —) 2 arctangt,
I+rt n n —a n —4 -
et, par consequent,
COt+1 dx - + --- - -- -...
j n n -. 1- nn-1 n- I
-(-I) 2 cotx-(-I) 2 x.
Dans le cas de n pair, il viendra semblablement
n
t, fl +. ( ) - 1- I)2t
+ t -- - - -2 t+ ti-5 ( + -) t
I t- ' I -4- t2
on en conclura alors
COt L X Cotn-2 X cot" -4 X
cotn"t+ x dx = -- - _
fcot -2 t nn 2 n-
)2 + (- )2 log sinx.
Rapprochant ces resultats de l'expression donnee par la metthode
generale, a savoir:
d"-~ cotx
fcot"'+- x dx = Cx + -o log sin x +.. 4- l cotx +...4- otx
nous en tirons cette consequence qu'on a -(-I) o x o,
nous en tirons cette consequence qu'on a i-( )'2 onu & o,