Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

~72? OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
II en resulte qu'on peut donner a l'expression
du d.-'1- u
c tu I- & 2 —... -,9..d'abord la forme
( d t n -1 dnt
sin(x —a) G —+- GI -+ —
v7dx" dx"-' /
dn,1 t dxlz ---C t
+cos (x - ) H -- H I,- -...
les coefficients G et H etant constants; ensuite celle-ci
sin(x — a) F(t)-d- cos(x -- a) Fl(t),
en designant par F(t) et F,(t) des polynomes en I des degres
n -t- et n; enfin au moyen des valeurs
I t
sin(x - a) = - cos(x - ) =
It tv/ 2 / ton ecrira
du Cd"-'u t (t)
x dxid"-' /it2
ce nouveau polynome 3q(t) etant du degre n ~ i. Sous ces formes
nouvelles, les quantites qui entrent dans les deux integrales sont
parfois d'une determination plus facile, et j'en donnerai quelques
exemples.
Soit d'abord I'integrale
cot"-' x dx,
l'exposant n etant entier et positif; d'apres la methode generale,
on posera
d cotx d" cotx
COtn-+l X = C q- CAo cotx - -- c% I -4-...-1- %n -;dx n dx"
et les coefficients s'obtiendront, soit au moyen des relations
d cotx
COt2 X'= - I --
Cot3X = - CotX - 2CotX
2 dx2
4dcotx i d3 cotx
co0x 1 - --
3 dx 6 dx3..............................)