Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

1NTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES. 71
car il vient ainsi
I I -+- t 2 dt
-- -:=,- dx -
sin (x- y),t I tt
d'oui
dx di
sin( —)- = -t = ~logt = log tang- (x - a).
sin(x - E) J t 2
Voici quelques remarques sur ces resultats.
VI. Les expressions qui, en dehors des termes logarithmiques,
a savoir
cot (X - 0 +- 2 d cot(x-,a) dn-l cot(x - a)
i~ cot(x —a) + &~ 2+-...+. — %dx dx- 1
et
d cosec (x - a) dL-l1 cosec( x - )
&1 cosec(x - ) 4- at +"... n - t-
dx dxXl-1
composent, avec diverses valeurs des constantes ^i et a, les integrales f (x.) dx, fH (x) dx, ont respectivement la meme periodicite que O(x) et H(x). La premiere, comme on l'a vu an paragraphe I, equivaut a un polynome entier du degre n en cot(x-a),
la seconde donne lieu i la transformation suivante. Soit, ppur un
moment,
cosec(x - a) = it et cot(x-a) = t;
nous remarquerons qu'on peut ecrire
dt
u =- sin(x — xc) dt
de sorte qu'il vient successivement
du d2 t dt
- - sin (x - a ) - cos ( x - a) - '
dx dxt dd
d' u da dt\ t d
d U -sin(x-) 3 d x dx2
~dwx/ dx — 2cOs(x —E)d —a'
et, en general,
dtc. I Ud- t k(k- ) d'- t 1
d/ = -sin (x — a) dxk+l I 2 dx/c -
k ds(t k(k —) (k —2) d/.-2t.
-cos(x — a) dx 1.. -2
i dx/c t. 2.3 dx- - J