Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

INTEGRATION DE.S FONCTIONS TRANSCENDANTES. 67
resultat qui se rapporte a la theorie de l'interpolation comme donnant l'expression de la fonction F(sinx, cosx), ou entrent n coefficients arbitraires, au moyen de n valeurs qu'elle prend pour
x = - —,..., x =-.
V. C'est pour obtenir ]'integrale de la fonction transcendante
f(sinx, cosx) qu'a ete etablie la formule de decomposition en
elements simples, dont je ne multiplierai pas davantage les applications; sous ce point de vue, voici maintenant les consequences
a tirer de la formule generale
f(sinx, cosx) = 1(x) -+ 4i(x).
En premier lieu, et a l'egard de
H(x) = a/k(cos kx -- /-i sin k ),
nous observons qu'on a
dsinkx dcoskx
dx -- k coskx, =- - k sin kx,
dx dx
d'oou, par consequent,
coskx dx= sinkx, sinkx dx cosx
k jsliAinsi l'integration reproduit une expression de meme forme que
la fonction proposee, sauf un terme proportionnel a la variable provenant de la partie constante qu'elle peut contenir., -4- I
Soit, par exemple, II(x) cos'ix; l'egalite 2cos.x = —
donnera, en l'elevant a la puissance n, et rapprochant les termes
equidistants des extremes,
I n n - )
2 cosIxI -= z+ - - (- - - - z - ) + --- (Z + — _ )- +....
+ ) 7;
Z/1 Iz 2 I, \ z'1 ---Distinguons maintenant les deux cas de n pair et impair; nous
aurons, dans le premier, avec le terme constant,
2'2-1 cos"x = cos 7x - - cos(n - 2)x -+ cos(n -- 4)x - -...
1 1.2
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