Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

64 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
qu'il existera une partie entiere H(x), dont voici le calcul. Partant de cette identite
/n —m______ -= Z -/~ Z/' —/m n Ot-3/1 _-,3/, —/Z___.
-zZ I
Z2/L 1 - I,'k,i —(2k —l)/t -}- (2/-)-l)/n-//l-4-,________________________
je prends pour k 1'entier imtmediatement superieur a -- de
sorle qu'on ait
in -- n
]c ---- -- ~,
2 /i
s etant positif et moindre que l'unite. 11 en resulte que
(2 k — I) - mn =- n s ct n - ( k — 1)i= -2( - s) n;
ainsi, dans la fraction du second membre, le numerateur est de
degre inferieur au denominateur. L'identite employee se verifie
d'ailleurs sur-le-champ, car, en remplacant z par l'e.xponentielle
e.V-i, elle se transforme dans l'quation bien connue
sin in.x
= 2 cos(mn- 7)x -+- 2 cos(n - 3n)x...
sin n x
sin (,kn — m2t)X
+ 2 COS[m — ('2Ak -)- 1n(. k sinnx
Nous obtenons ainsi
n(x) =2 cos(m -n ).x - 2 cos(m- 3n)x +...+- 2 cos[n -.(' - I)n]x
et
sin('2 /i - in2).x
4(x) = - -
sin nx
ou simplement
si nz x.
4,(x) =
SIIl 71 X
sin/ nx
en supposant maintenant m inferieur a n, en valeur absolue.
Cela etabli, les racines de l'equation z'1 - o sont donnees
par la formule z = e ', k prenant les valeurs o, I 2,.,.. - i,
k ~ sin nix
et si l'on fait aC -, le residu de la fonction sin n correspondan
n sinns
sin nz ( - x ) sin nz,
a x -- a. sera-. — _; et nous obtenons, par consesin/a n n