Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

dans le cas general, a le role de la quantite - a l'egard des fonctions rationnelles. C'est par les applications qu'on reconnaitra surtout l'utilite de ces distinctions et, pour commencer par un cas
facile, j'envisagerai d'abord la fonction
Cosa - cos
J'observe en premier lieu qu'en introduisant la variable
z = e'=-l, il vient
I z
cosa- COSX 2Z cosa -I- Z
Or, les racines du denominateur sont evidemment les quantites
eaV-~, e-~/-~ le numerateur est seulement du premier degre; ainsi
la partie entiere 11(z) n'existe point, et nous aurons
I x~ -- a x --- cc
I C -+- C 1) cot -- +-1 cot +
COsa - COSX 2 2
Calculant maintenant les residus pour x = a et x = - a, j'obtiens les quantites
I I
sin a sina
et, par suite, en divisant par 2 les valeurs
r i
_ --, b =-.
- 2 sin a 2 sin a
de sorte qu'il vient
I I ( x --- -a
--- = C -- co ( cot - cot
Cosa -osX 2 sina, 2 2 a
On trouve d'ailleurs sans peine que C= o; mais voici, pour des
cas moins faciles, une determination directe et immediate de cette
constante. Supposons, en general,
F1(z).
f(sinx, cosx)= F(z)
F(z) ne contenant point le facteur z et etant de degre au moins
egal a celui de F, (z), la partie designee par (D(x) existera seule