Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

)i0o OEUVRES DE CHARLES HEIMITE.
dente avec celle-ci, que donne le theoreme de Taylor,
cot —(x -a- h)
d cot- (x- ) d2 cot- (x —a)
h 2 ha 2
cot- (x -a),- --
=ct( I dx 1.2 dxd'" cot (x — )
(.'2.../n dx''+-**
hn 21
on trouve pour le coefficient divise par deux, du terme en, prec-isement
I '
d cot-(x- -) d" cot - (x- )
I 91 2
A, cot- (x- a) + &lo dx +...+ An '- -
2 d.x dx'I
Le groupe total des elements simples, se rapportant a la quantite
x -= qui rend infinie la fonction proposee, estainsi le demi-residu
correspondant h - o, de l'expression
x - -- h
f[sin(a -i A), cos(a -t- h)] cot -;
resultat analogue, comme on voit, a un theoreme de Lagrange.
III. Apres avoir jusqu'ici suivi pas a pas la theorie de la decomposition des fractions rationnelles en fractions simples, nous
allons introduire une consideration nouvelle qui a son origine
dans la propriete caracteristique de la transcendante f(sin x, cosx)
d'etre periodique. Je remarque que, d'apres la relation
X
cot- = cotx -H cosecx,
2
la fonction 1((x) s'exprime en termes de deux formes, a savoir
d cot(x - a) dl cosec(x- a)
dxz et ctXet
les premiers ayant pour periode x et les autres se reproduisant en
signe contraire lorsqu'on change x en x + T;. Or, a l'egard de

U (x) = 1 a/li(cos kx 4 V/- sinkx),.