Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

oiU,(z) sera, par consequent, de la forme Z a z, avec des puissances entieres, mais positives ou negatives, de z. Maintenant nous
conclurons de cette formule elementaire, en revenant t la valeur
-z e'1-', l'expression suivante de la fonction f(sinx, cosx). La
quantite S(x), devenant d'abord
a/,.e/x'-l = a/,(cosk/ -x- -+/-i sinkx),
nous donne une premiere partie, que je designerai par 1-(x), et
qui en sera consideree comme la partie entiere. Les fractions partielles donnent ensuite une seconde partie (D(x), qui, en posant
a = eao-l, b = e/,.~.., I = et/-,
aura la forme suivante:
d cot -(x -) d' co - (x-a)
1 2 2
4Q(x)-= const. +to cot- (x - o) 1- -x.4- + 1
2 dx dx'1
I I
d cot -(x-3) d) cot- (x - )
I 9..~ ~ ' 2
+- al) cot - (x - 4- Ail dp
2 dx dxv
dcot-(x -) ds cot- (x —)
2 2
+C- ot - (x -)+ —) — & +...+ J< — -
~~d2 '`d dcxs
La determination des coefficients Ao,, 11b,... 4 %, a(I)... rendra plus comple-te encore l'analogie de la formule que nous venons
d'obtenir
f(sinx, cosx)) )= () —C(x),
avec celle de la decomposition des fractions rationnelles en fractions simples.
II. Je ferai, dans ce but, en ayant en vue le groupe des coefficients L,,J,...,,,, x = a.+/h, et je developperai les deux
membres suivant les puissances croissantes de h. Or, les series
provenant ainsi de la partie entiere et de cot (x- ),...
cot - (x -.) ne contiendront que des puissances entieres et posi9 -