Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES.

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quand on y change x en x - a.. De a resulte une premiere transformation du groupe des fractions partielles
A A A,l
— H -...-4 -z-a (z-a)2 ( -a)L+i
en un polynome entier et du degre' n - I en cot --; mais nous
pouvons faire
d cotx
cot2X — I —,
dx
COt3X - = C -- - o - d2C
c9 dX2
*...........................
et la relation identique
I dcotl/x
cot+1l x -- cot-1 x --
k dx
montre que, de proche en proche, on exprimera lineairement cot" x
au moyen des derivees successives de cotx jusqu'a celle d'ordre
n - i. Nous parvenons done a ce nouveau resultat, savoir
A Al A,,
z - a (z - )2 ) ( -- a)"t
dcot - (x- a) d'" cot - (x-:C)
I 2 2
= C +-4- cot - (- ), - +- -...+ %c
2 dx dx'1
les constantes C, 4J,,,,..., ts,,, dependant lineairement des divers
numerateurs A, A,,..., A,. Ce point etabli, je mettrai en evidence,
si elles existent, les racines nulles du polynome F(z) en faisant
F(z) = Z+1 '(z - a),+- (z - b))+'...(z — )s+1,
et je modifierai la formule generale de decomposition en fractions
simples en reunissant a la partie entiere du quotient F() les fracF(z)
tions partielles en, -.. de maniere a avoir
Fl(z) A A, A,
=F~z 9=(z)+ +- - - -* t
F(z) z - a (z- a)2 -- a)"B B, B_
z- b (z- b)2 + (z - 6) +l
L Li Ls
i- --- - ** (. 4-'
z - 1 ( - )2., + Z