Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

INTEGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES. 53
l'approximation d'une transcendante par une fonction rationnelle,
qui est interessant en lui-meme, recevra plus tard une application
importante. II met en evidence une propriete entierement caracteristiqe des expressions ( -
ristique des expressions (dx — ) auxquelles on donne le nom
de polynomes de Legendre, et qu'on designe par X,, en posant
X C, (xZ --,)I,
_C( cl"( X2 )
2.4.6.... n dxt'
Ces fonctions, introduites en Analyse par l'illustre geometre,
l'occasion de ses recherches sur l'attraction des spheroides et la
figure des planetes, sont d'une grande importance, et donnent lieu
a plusieurs theoremes remarquables, dont l'un nous servira de nouvelle application du procede de l'integration par parties, fonde sur
la formule
U dl- V dx = V-( ---)" V dx,l dx
U dx"-' dx'tJ
ou
d' V dU d'l-I V d2 U d/-2 V
dx U dx dx= l' dx' dx, — -...
Soit, en effet, V - (x" i)"+', en supposant que U soit un
polynome arbitraire de degre /?, l'integrale du second membre disparaitra, et nous obtiendrons d'abord
dU.4-' ( x2 _ --- )+I
JU dxx- = e.
J'observe ensuite que, les derivees successives de (x2 - i)+t
jusqu'a celle d'ordre n, contenant en facteur x2 - I, s s'evanouit
pour x =, et x = -, et il en resulte que l'integrale definie
+-1 dI+l- (XI — I) x+l
U d x,
difference des valeurs de E pour.x = et x - i, est nulle.
Le theoreme exprime par l'quation
dx =
I UXn+l dx = o
t-1

appartient exclusivement aux polynomes de Legendre; car, en