Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

5'2 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
A l'egard du produit (x'2 - I )" log il faudra, en posant
x -' I
U = (X2 -I)Iz, V = log
appliquer la formule
d" UV rId U n d"- U dV n/z -I) dl' —2 t d2 V
dx - d +x d I dx' — 1 dx I. dx' - ' dX
d11(x2 - I)I' x -4- I
don-t ]e premier terme d o^- log — sera seul a dependre
dx, x -I
d u logarithme, les autres etant tous rationnels et meme entiers. On
a effectivement
x -1- I
dia log. 9, - I dga.
da = d — [lo0g(x - I)-I\og(x — I)]
dxa dxa
==( —I)-l.-2....(a ') [ ) — (X - - )- '
d'-a (xr2 - I )fl
ct comme dxt —a contient en facteur (x - i )', le produit
dx,~- ( / (
est entier en x. Reunissant ces termes au polynome Cdx~ en
les faisant passer dans le premier membre, que je designerai alors
par F, (x), nous parviendrons a cette relation.
di (x2 - 1) l x -+- I
g ) clx x tx-i+ (-)'~,. [...n |z, +2, +.,
a laquelle je m'arreterai un moment. Elle montre qu'en multipliant par le polynome du n i dege degre ( )la serie infinie
loX I /1 I
x -4- I I I I
le produit manque des puissances -?., et il en resute
x- et i en rsulte
d 1(X2 X^ I X Y
qu en divisant F,,(x) par d ), le quotient, ordonne par
rapport aux puissances decroissantes de la variable, coincide avec
cette serie, aux termes pres de l'ordre - ~ Cet exemple de
x2il —4-1