Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

INTEGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES. 51
nous obtenons la condition
2.4. (2n - 2) a2-2 X
f,;,() =-fn-1(j )-( —I)n 3.5...(21it-1) (-X- a?2Nit
qui est satisfaite d'elle-mme. La fonction f,, (x) donne ainsi, pour
la partie rationnelle de l'integrale proposee, l'integrale
(- 1)' 1.3.5...(2n- i) x
a2"1 2.4.6...2n (x2 — a2)'t
X |( 2__2)_-l - 2a(X_ 2a(2 )/1-2 +- u'5 a4 ( x2a2)-3..
qui, d'apres l'expression du coefficient A, coincide bien avec celle
qui a ete obtenue precedemment sous la forme (x — a), et
quanL a la partie transcendante, l'identite
2a I I
x- a2 x-a x -- a
donne sur-le-champ
dx i x - a
- a 9 a x - log a
III. La determination du polynome (x), dans l'quation
=Alog A I-O
f dx - x x -a ^(x)
J (- a2)+l x — + a (x- a2- )'
a ete obtenue par cette remarque tres simple qu'en l'ecrivant ainsi,(x) A (x2- a2)/ log x + ( X2 - a2)'" dx
x -- (X2- a2 )+l —I
le developpement suivant les puissances descendantes de la
variable de l'expression (x2 - a2)"n 2 2)+ est de la forme
-4- 4-+ *.. sans contenir aucune partie entiere en x. Or, il
resulte encore de cette remarque une consequence importante que
voici. Faisons, pour plus de simplicite, a = I, et prenons les derivees d'ordre n des deux membres dans la relation
5(x) = A(X2 -)'L log + C.3
X — I X ~'z..