Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

INTEGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES. 47
la place de la serie
I x 4-a\ a t a3 i a5
- log = ) -+- ~ - -~- - - — +. *
2 x\ -a x xZ3 F; X5
celle-ci,
I /x - a r a 2 a3
-2 xg( -ay x"2- ra2 3 (x2- a2)2
2.4 a 2.4.6 a7
3.5 (x2- a)3 ~ 3.5.7 (x- 2 -- a2)
qu'on demontre facilement en prenant les derivees des deux
membres, et employant cette identite
d [ a "'-I 1 (' n-zI)a2-2 a2 tl
=4 -da ( '- a2 ) (-' - a 2)'1 ( x1- a2 ),t+l
La partie entiere qui resulte de la multiplication par (x2 - a2)1'
se presente, en effet, sous la forme
x aa( 2 — a2 )n -i a3 (- a2),n-2
-+- J-4a5(x a2 a2)~-3 —... ( a9^],
3.5 5...
et il vient, par suite,;,.,=2AS/(~I' — ao.
'(x) = aAx (X2- a2),1-1- a2 (x2 a2)' —2
a4(X2 a2)1 —3. (_) 2t-2
3. — 5 3.5..:).' n — '
ou, en employant le facteur A sous la forme
A = ( —)' I.3.5...(?,7 —I)
2a2zn-t! 2.4.6...2 n
et renversant l'ordre des termes,
x [ r [1 2 - I 2- a2 (2n- i)(2- -3) (X. -a2)2
a(x) = a,' -';
2 Lna2 2n (n-i)a4- 2n (2n —2)a6 n -2 ' J
c'est precisement le resultat trouve precedemment, dans le cas
de a -I.
1. Lintegral (x2 a — 2)ff peut encore s'obtenir au moyen