Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

INTEGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES.

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on a identiquement
XT U d cl v \
N,+~ = N + d ^ '
d'ou
J N,'Ti N N --
I
de sorte que VL est la partie algebrique de l'integrale, et J U dx
la partie transcendante.
Eliminons, a cet effet, A et B entre les trois egalites
(n. i)Vi = A 'Xi - NKi,;i+1l = B DX- N' K - Vi,
= BN - N'A,
ce qui donne
N ti+l =.+i ( - i) N'Vi- NVi.
Nous mettrons cette relation sous ]a forme suivante:.oi;rot+ 1 d ( Vi )
N,-i+- N,- = d'xNTi/
et, supposant ensuite i o, 1, 2,..., n - I, nous en conclurons,
en ajoutant membre a membre,
_0__ d( Vo V V V,_- \
N+1 N dx N" ' NI-1 N I
ce qui fait bien voir qu'on satisfait a la condition proposee
t _ U d (V
NTll -N dx 4N7.
par les expressions
U = 6n,
V = V -+ NVi N -+-N2V2.. N".-l V-,,-,
comme il s'agissait de le demontrer.
J'ai dit que les polynomes K, K,,..., K._, etaient arbitraires; on
pourra done en disposer de maniere que les degres de Vo, V,...,
V,,_1 soient moindres que le degre de N; on pourra aussi les sup