Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

INTEGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES. /I
quotients, et R, R,, R2,... les restes successifs, savoir
U = VQ - R,
V = RQ1 - R1,
R = R1Q2 + R2... -......o.o
Les valeurs qu'on en tire, savoir
R =U-VQ,
RI= V( t- QQ )-UQi,
*..............,-e... q *
montrent qu'un reste de rang quelconque s'exprime an moyen des
polynomes U et V par une combinaison de la forme
AV -- BU,
oii A et B sont des fonctions entieres. Or, le dernier de ces restes
est, dans l'hypothese admise, une simple constante, ce qui
demontre et donne le moyen de former la relation annoncee.
Cela pose, soit
U = Nn+l, V = Pp —Qq+I...Ss-l;
nous pouvons ecrire
i _i _ A 13
UV F~(x) N+ -+1 I-p- p+iQq7+. S..ss
puis, en multipliant par F1 (x), et faisant )X = AF, (x),
F,(x) _. BF,(x)
F(x) NT+-l p' lPl Qq7+I...Ss+l
Maintenant il est clair qu'en operant sur la fraction
BF,(x)
plJ+l Qqt- I. Ss+
comme sur la proposee, on la decomposera pareillement en un
terme p- et une nouvelle fraction dont le denominateur ne renfermera que les facteurs de F(x) autres que Nt~+' et Pp+i. Continuant done les memes operations jusqu'a l'epuisement complet
de ces facteurs, on realisera ainsi la dccomposition que nous vou