Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

EXTENSION DONNEE A LA THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES. 517
vous voyez qu'on obtient
E(X'-X) = M', ~(Y'-Y)=wN',
en posant
= q [N'V] -- [NV] — N"V].
Cette formule se simplifie, si l'on remplace dans le dernier terme
N" par sa valeur, et devient evidemment
W =q[N'V] - [qN'V].
De la se tire 1'expression des polynomes X et Y sous forme
de series, telle que l'a donnee M. Tchebychef dans sa lettre a
M. Braschmann, et je remplis I'intention qu'a bien voulu m'exprimer l'illustre geometre en vous communiquant ce qui m'a ete
suggere par I'etude de son beau travail.
La consideration de la forme
y2 z2
/=( -ax y - b)2Y+ T + Zou 8 et s sont (les quantites variables essentiellement positives,
qui donne une demonstration facile des resultats decouverts par
Dirichlet sur les minima de la fonction lineaire x - ay - bz, conduit egalement a la proposition de M. Tchebychef. Soit d'abord
S =t2 a, 8t= t12, de sorte que l'invariant D ait pour expression
t3U3, je rappelle qu'un minimum de f, pour des valeurs entieres
des indeterminees, ayant pour limite superieure le double de l'invariant, on a, quelles que soient les quantites positives de t el it,
(x-ay - bz)'+i t t <
2U tl32 tU
et par consequent
(x -ay- bz)2< x-ay-bz x~~~tu 27 yz
puis
)/2 < t 2, S- < it,
Cela pose, je remarque en premier lieu que, si la limite superieure
de z est inf6rieure a l'unite, on aura z - o, et les minima obtenus
en faisant croitre t indefiniment seront ceux de la fonction lineaire
x - ay que donne le developpement de a en fraction continue.
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