Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

il determine des polynomes entiers par rapport a cette variable,
X et Y, tels qu'en ordonnant suivant les puissances decroissantes,
le degre soit le nombre negatif le plus grand possible en valeur
absolue. Les recherches de l'illustre geometre sur la question sont
extremement belles; a bien des titres elles sont pour moi du plus
grand interet, et voici une remarque a laquelle elles m'ont amene.
Me placant d'abord au point de vue arithmetique, je suppose que
a soit une quantite positive; les valeurs entieres de x ety s'obtiennent alors comme il suit. Soient -, - deux reduites consecun n'
tives du developpement en fraction continue de a; posons
nb= N +- t), n'b -= N' + to',
en designant par N et N' des nombres entiers, par to et w' des
quantites inferieures en valeur absolue a -. Soit encore, pour
abreger,
- = mn' - m'n = - I;
on aura
Ex = n N'- m'N, sy = nN'- n'N.
Ces formules donnent en effet
s(x - ay') = ( n — can) N'- (m'- an' )N
= (m - an) (n' b - w') -( m'- an') (nb - w)
= sb - (o (m'- an') — w' (i - an),
de sorte qu'il vient deja
s(x - ay - b) w (m'- an') - '(m - an).
Employons maintenant la quantite ) qu'on nomme quotient
complet dans la theorie des fractions continues et qui resulte de
l'egalite
m' -+- m
a =
n' A - n
on aura
m - an = n',- n m an - -
n' A +n n A -}- n
et, par suite,
/ ( m- t )- (m-an)__to'X - +o
w(in'- an') - w'(m - an) =-s n'
WX -i- n