Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVAES DE CHARLES HERMITE.

une methode que Sturm a lui-meme donnee dans une Note du
Journal de M. Liouville, publiee a la suite d'un travail de
M. Gascheau, intitule Application du theoreme de Sturm aux
transformees des equations binomes, t. VII, p. 126 (voiy aussi le
Cours d'Algebre superieure de M. Serret, t. I, p. i83). J'introduis, a cet effet, la serie entiere des polynomes U., U2,..., U,,_,
en posant
Ul,.4- iVk = (X - akil — ibkc+l) (x -a/+-2 - ibk+2 ).. (X- a,,- ibn ),
et je remarque que la suite
U, U1, U2,..., Un-1, 1
presente n variations pour x - oo et n permanences pour
x=- oo. J'observe ensuite que trois fonctions consecutives
quelconques, par exemple U, U,, U2, sont lies par la relation
b2 U - [bl(x - a) -- 62( - a,)]U,-+ b,[(x - d )2 + b,] Uo = o.
Sous la condition admise a l'egard des quantites bl, b2,..., on
voit donc que, quand une fonction s'annule, la precedente et la
suivante sont de signes contraires; il en resulte que, en faisant
croltre la variable de - oo a -4- oo, des changements dans le nombre
des variations de la suite consideree ne peuvent se produire qu'autant que c'est la premiere fonction qui s'evanouit. Puisqu'on perd
n variations, il est donc demontre que le polynome U passe n fois
par zero; en mme temps que nous voyons que, a l'egard de U, la
fonction U, possede la propriele caracteristique de ]a derivee,
U
c'est-a-dire que le rapport - passe toujours, en s'evanouissant,
du negatif au positif, pour des valeurs croissantes de la variable.