Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR L INDICE DES FONCTIONS RATIONNELLES.

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vienne UA -- iVx, et soit I l'indice de Le nombre des racines
de l'Fquation proposee dans lesquelles le coefficient de i est
superieur a ) sera l n; la formule -I- - donnera done, en
supposant A < )', le nombre des racines oi le coefficient de i est
compris entre les deux limites ) et )/. La transformee deduite de
l'equation U -- iV -o par le changement de x en ix conduira
d'ailleurs de la meme maniere au nombre des racines dont la
partie reelle est dans un intervalle donne. Considerons encore
l'equation en y oblenue en faisant
-_-f~
x -g
- h-x
et la droite passant par les points dont les affixes sont g et h.
L'indice relatif a cette nouvelle transformee donnera le nombre
des racines de la proposee qui sont au-dessus ou au-dessous de
cette droite, et, si nous remplacons g et h par g - k et h + k,
de maniere a definir une seconde droite parallele a la premiere,
la demi-difference des indices relatifs aux deux transformees
representera le nombre des racines comprises entre les deux
paralleles.
En dernier lieu, je remarquerai que, si'l'on suppose les quantites b,, b2,..., bn toutes de reme signe, on a
I = + n ou I - n,
selon qu'elles seront positives ou negatives. Dans les deux cas, la
V
fraction U doit, par consequent, passer n fois par l'infini lorsque
la variable croit de -oo a -t o; ainsi l'equation U -o a necessairement toutes ses racines reelles. C'est donc un nouvel exemple
qui s'ajoute, en Algebre, l'aequation dont dependent les inegalites
seculaires du mouvement elliptique des planetes et qui a te l'objet
du travail celebre de notre confrere M. Borchardt. Je ne tenterai
point de suivre la voie qu'a ouverte l'illustre geometre en appliquant le theorime de Sturm a l'equation U = o pour obtenir, sous
forme de sommes de carres, les fonctions litterales dont dependent
les conditions de realite des racines; mais je saisis l'occasion d'employer, pour demontrer directement la propriete que j'ai en vue,