Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

510 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
donne, en egalant dans les deux membres les coefficients de i,
VUi- UVi= -— 6b(U +- V )
ou bien
v vI bl(U +V2)
U U1 UUl
Faisons croitre maintenant la variable de - oo a +- oo; puisque
les polynomes U et U. ne peLuvent s'evanouir pour la meme valeur,
on voit que l'indice du premier membre sera la difference des
U U1
indices des fractions U et i, qui va s'obtenir immediatement.
Supprimons, en effet, le facteur positif U2 + V2; nous sommes
amen la quantite U-, dont la reciproque a un indice nul, de
sorte qu'il suffit d'appliquer la proposition contenue dans l'egalite
xO 'o
oiu s=-+i lorsque f(xo)>o, f(x,)<o, s=-I Si 1l'on a
J(xo) < o, f(x,)> o, et enfin =- o lorsquef(xO) etf(xi) sont
de meme signe. Dans le cas present, X0=-o o, x - — o+; d'ailleurs U et U. sont de degres n et n - I: il en resulte que s sera +- i
ou - I suivant que b, sera positif ou negatif.
La proposition enoncee a l'egard de l'equation U - iV = o, de
degre n, se trouve ainsi ramenee au cas de l'equation UI + iV1 = o,
dont le degre est moindre d'une unite, et, de proche en proche,
on arrivera au cas le plus simple, a savoir
x - a, - ibnl = o,
oil elle se verifie immediatement.
Une premiere consequence a en tirer, c'est que, en designant
par I l'indice de V, c'est-a-dire l'exces du nombre de fois que cette
fraction, en devenant infinie, passe du positif au negatif sur le
nombre de fois qu'elle passe du negatif au positif, le nombre des
racines imaginaires de l'equation U + iV o dans lesquelles le
coefficient de i est positif est donne par la formule -+ n.
Supposons ensuite que, en changeant x en x -- i, U -+ i V de