Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR

L'INDICE DES FRACTIONS RATIONNELLES.
Bulletin de la Societe mathematique de France,
t. VII, 187, p. i28-31.
Soient U et V deux polynomes de degre n et n- i, que je
supposerai premiers entre eux; je me propose de montrer, par
une consideration directe et entierement elementaire, que l'indice
V
de la fraction., entre les limites -oo et - oo de la variable,
donne la difference entre le nombre des racines imaginaires de
l'equation U + iV - o, ou le coefficient de i est positif, et le
nombre de ces racines ou il est negatif. Soit, a cet effet,
U -- iV = (x - a - ib) (x -a2- ib2)...(x -a- a ib,,),
et posons
Ui — iVi = (x - a2 — ib2)...( - a, - ib, ),
de sorte qu'on ait
U - iV = (x - a- ibl) (U -+- iVi),
et, par consequent,
U = (x - a,) Ui- b V,
V = -b U1-+-(x- ai)V1,
Je remarque d'abord qu'il resulte de ces relations que les polynomes U et U. sont premiers entre eux; car autrement U et V
auraient un diviseur commun, contre la supposition faite. Cela
pose, l'egalite
(U + iV)(Ul- iVy) = (- a,- ibi) (U2 +'V2)