Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE,.

l'integrale et de la partie transcendante aux termes en,, Mais
nous allons reprendre, par une methode plus approfondie, cette
recherche importante de la partie algebrique de l'integrale
F,(x) dx.
F(.x)
Nous nous proposons, en effet, de la determiner de maniere a
obtenir la somme effectuee des fractions simples donnees par la
formule generale, de sorte que la connaissance des racines de
l'equation F(x) - o ne sera plus necessaire que pour former la
partie transcendante A log (x - a).
iII. Dans ce but, on commencera par mettre le denominateur
au moyen de la theorie des racines egales, sous la forme
F (x) = NIl+i p+l Qq+l-..SsQ+l
N; P, Q,..., S etant des polynomes tels que l'equation
NPQ...S = o
n'ait que des racines simples. Nous remplacons ensuite la decomposition en fractions simples par celle-ci:
F1(x) X_ 4 4
F(x) N=t - VP+)-+-+ Qq- +-i + ss
ou u, 5, ~,..., s sont des fonctions entieres qu'on obtient par
Ia methode suivante.
Je me fonderai sur le procede algebrique que je vais rappeler,
et par lequel, etant donnes deux polynomes premiers entre eux U
et V, on peut en determiner deux antres A et B, tels qu'on ait
AV BU = i,
et, par consequent,
A B I
U + V - UV
Effectuons sur U et V la recherche du plus grand commun diviseur de maniere a obtenir ces relations, ou Q, Qi, Q2,... sont les