Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

Cela etant, je dis que
F(x) = cof (x) + 3of'(x) - yof"(x) -...,
serie qui s'arretera d'elle-meme quand on arrivera a fP+4 (x), qui
est nul.
Pour verifier cette valeur de F(x), il suffit de faire la substitution comme il a ete dit tout a F'heure; or on trouvera ainsi
ao/f(x) 4- (ao+ xo)/'(x) 4- (a'o o,-+ 7~o)f'(x) -...,
qui doit etre identique a F(x), et cette condition est satisfaite
d'apres les relations (i).
Comme exemple, je prendrai l'equation lineaire du premier
ordre
d - ay =f(),
dx
que nous savons deja integrer; nous allons ainsi retrouver le
resultat precedemment obtenu. En appliquant la methode qni
vient d'etre exposee, nous ferons le quotient
I I z 2 z
- _ + _ o._
a +- z a a2 a
En posant alors
f(x) f' (x) f" (X)
F = a a2 a3
la solution generale sera
y = c e-ax + F(x).
Remarque. - Dans un grand nombre de questions, on se sert,
comme nousl'avonsfaitici, d'unefonction ( (x) = a+X- - yx2 -...,
dans laquelle les exposants de la variable correspondent a des indices
de derivation d'une fonction donnee F(x). Lorsqu'on deduit ainsi
de F(x) la nouvelle fonction a.F(x) -+- PF(x) + yF(x) +...,
cela s'appelle operer sur F(x) a l'aide de pf(x).
En tertninant, nous indiquerons, sans la demontrer, la consequence suivante: Lorsque ie'quation caracte'ristique a toutes
ses racines reelles, le nombre des racines re'elles de F(x) est au
plus egal au nombre des racines reelles de f(x).