Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

5o6 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
valeur quelconque x.- c; il suffit de prendre
sinn(x - c)
y = yo cosnx(x - c) - yO -
n
Cette integrale, comme on voit, est une expression reelle, bien
que les racines de l'equation soient imaginaires; or, en general,
etant donnee une equation differentielle lineaire sans second
membre et a coefficients constants, je dis que, si ces coefficients
sont reels, ainsi que les quantitesyo, yo', YO,..., on pourra mettre
aisement l'integrale sous forme explicitement reelle. En effet, a
etant une racine imaginaire de l'equation caracteristique, on prendra sa conjugue b et l'on considerera les deux termes Aeax + Bebx.
A et B sont evidemment conjugues, puisque ce sont les residus
d'une meme fonction reelle l-z) pour deux racines conjuguees du
denominateur.
Supposons que a=a - i, b - a — i et A =P+ iQ,
B P - iQ; nous aurons
A eax — B ebx = A eax( cosx -4- i sin x) -4 B eOx( cos 3x - isin 3x)
= eax cospfx(A + B) — ex sin x(A - B)i
= 2 P eOX cos p - 2 Q eac sin p x,
quantite qui est en effet reelle.
Nous avons vu tout a l'heure que, etant donnee une solution de
d2 y
dX-+ n2y = o, en y changeant x en x + c, on a encore une
solution. Cela se voit immediatement sur la forme generale
y Aeax - Bebx..., car les differents termes se trouvent simplement multiplies par eax, ebx, ce qui revient a changer les constantes A, B, qui sont arbitraires.
Equations lineaires a second membre et & coefficients constants.
Je supposerai que, ce second membre etant un polynome entier
f(x) de degre p, l'equation proposee soit
dy d2 r d,
ay -- 3 d+ -++ dXf =-f ().

Si je prends la derivee d'ordre p - I des deux membres, je