Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES.

503.Quand on passe au cas ou l'equation caracteristique a des racines
multiples, cette methode est d'une application difficile, puisque
les derivees de y sont plus compliquees et que les diverses racines
n'entrent plus de la meme maniere dans les equations a resoudre.
Cauchy a donne une metrhode tres simple, qui est la meme dans
le'cas des racines simples et des racines multiples.
Reprenons la solution de l'equation differentielle sous la forme
I j~ ezxlI(Zdz;
Y= i 7r Fe(z)
pour que cette integrale soit la solution generale, il faut supposer
que le contour d'integration renferme a son interieur tous les
points dont les affixes sont des racines de F(z), et, comme l'integrale ne change pas de, valeur quand on agrandit le contour, je
supposerai que c'est un cercle dont le centre est a l'origine des
coordonnees et dont le rayon sera tres grand.
II s'agit de determiner les coefficients de I (z) de sorte que, pour
x = o, 1 fezn( ) dz et ses n- i premieres derivees prennent
x ~ o, 5 (z(-d )
les valeurs donnees, que je supposerai etre yo, Yo,.., ';
nous avons les n equations
I flltz)
f F-') dz = yo,
i r zi F (z) a,
Hzz1 (z) dz =
z,-n(z) 2 ds = y'2 i c F (z) 0'
~Lin:I S n1 —Ill(z) ( Z.12 17r Fn~n(z))
Pourobtenir ces diverses integrales, developpons suivantles
puissances decroissantes de la variable; II (z) etant en general de
degre n - I, le premier terme du developpement sera du degre
- i en Z, et l'on aura
n (z) ~o 1, e.2 /-
z) -- -- + + t +'" + - ~z +....

En effectuant le long du cercle de rayon infini les n integrales