Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

Supposons que m soil une racine simple de l'equation caracteristique; alors F(m) = o. L'equation precedente commence par un
dz
terme en d7; elle est donc verifiee si l'on suppose que z est une
constante A. L'equation proposee aura pour solution correspondante
y = A ellx.
Si m est une racine double, on a F(m)== o, F'(m) o; la
cd2 z
transformee, commencant par un terme en d-2' est verifiee si l'on
suppose que z est un binome du premier degre en x(z = A +- Bx).
La solution correspondante pour l'equation proposee est
y = emx(A -+ Bx).
On verrait de meme que, si m est une racine d'ordre de multiplicite a +- de la caracteristique, on a pour solution de l'equation
differentielle
y = enx(A -+ B x +...-+ Lx),
A, B,..., L etant des coefficients arbitraires.
Nous allons maintenant determiner les constantes arbitraires
que renferme la solution generale de l'equation differentielle
lineaire, de facon que pour une valeur particuliere de x, pour
x = o par exemple, la fonction y et ses derivees successives prennent des valeurs donnees.
Voici quelle etait la methode suivie avant que Cauchy eut donne
une solution generale de ce probleme. Prenons le cas ou F(z) n'a
que des racines simples; la solution est de la forme
y = A eax. — B e+hX-...+ L elx.
On forme les (n —I) premieres derivees, on y fait x o, et,
en egalant les valeurs qu'elles prennent aux valeurs donnees
y, y0,..., y-~, on obtient, pour determiner A, B,..., L, les
n equations suivantes
A - B +... — L =yo,
Aa -4- Bb +...4+ LI =yi,...................................
A an-i -j- B bn-1 -... + L I-1 = y(- ).